Paradoks Nedir?

Paradoks nedir?

Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür.

'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir değiş'
'İki doğrunun veya yanlışın çelişkisi'
'Soyut muhakemenin sona erdiği tezat'
'Kağıt-kalem veya mantık ilüzyonu' (Galiba en güzel tanım bu!)
Paradokslar ilginçtir, eğlencelidir, öğreticidir, şaşırtıcıdır, zihni açar...
Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermiştir. Giritli olan Epimenides:
-'Bütün giritliler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye götürür. Şöyle ki :
Eğer gerçekten giritliler yalancı ise kendisi de giritli olduğuna göre o da yalancıdır. Yani söyledikleri yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi). Bu cümle yalan olduğuna göre doğrusu şu olmalı:
-'Bütün giritliler doğrucudur, doğru söyler.'
O halde söylediği doğrudur. Yani 'bütün giritliler yalancıdır......'

Tarihten Diğer Örnekler:

Fatih Sultan Mehmet'ten:

Bilindiği gibi Fatih, genç yaşta padişah olmuştur. Yaşı gençtir ama zekası ve inançları çok kuvvetlidir. Yeni sultan olduğu yıllardır. Birgün bir sefere gidilecekken ordunun başında babasının olmasını ister. Ancak babası bu teklifi kabul etmez. Fatih'in maksadı babasının ilminden ve tecrübesinden yararlanmaktır.
-"Eğer sen padişahsan geç ordunun başına. Yok eğer ben padişahsam emrediyorum ordunun başına geçeceksin!"
Babası Sultan Murat, başka çare bulamaz ve orduya komutanlık yapar.

Osman Yüksel Serdengeçti'den

Osman Yüksel'in milletvekili olduğu yıllardır. Birgün meclis kürsüsünde kendisine laf atan vekillere dayanamaz ve:
-"Bu meclistekilerin yarısı eşektir!" der ve iner kürsüden.
Bunun üzerine meclis karışır ve herkes kendisinden sözünü geri almasını ister. Arkadaşlarının da ricası ile tekrar kürsüye çıkar ve zekasını gösteren ve vekilleri rahatlatan şu sözleri söyler:
-"Bu meclistekilerin yarısı eşek değildir!"

Yaşanmış bir olay:

1974'teki Kıbrıs çıkarmasına katılan bir asker anlatıyor:
"Çok şiddetli bir taarruz vardı. Mermiler kulağımızın dibinden geçiyordu. Siperde daha önce hiç görmediğim bir asker yanıma yaklaştı. Belli ki bizim birlikten değildi. Bir zarf çıkardı ve:
-"Memlekete dönünce bu zarfı, üzerindeki adrese bırakır mısın?"
-"İkimiz de döneriz inşallah" dedim.
Israrla kendisinin dönemeyeceğini, benim ise memleketime ve aileme kavuşacağımı söylüyordu. Biraz isteksiz de olsa zarfı aldım. Ancak o çatışma sırasında birbirimizi kaybettik. Taarruz bitip memlekete döndüğümden bir-iki yıl sonra eski eşyaları karıştırırken o zarfı buldum. Unuttuğum görevi, geç te olsa yerine getirmek için İstanbul'a gittim. Üzerindeki adres, Aksaray'da eski bir eve götürdü beni. Kapıyı yaşlı bir amca açtı.
-"Merhaba amca. Ben Kıbrıs'ta savaşan oğlunuzdan bir mektup getirdim. Belki kendisi de gelmiştir."
-"Bizim Kıbrıs'ta savaşan bir oğlumuz yoktu"
Beni içeri davet ettiler. Eşi, bir fotoğraf albümü ile geldi. Fotoğrafları gösterip:
-"Sana zarfı bu genç mi verdi?"
-"Evet. Çok iyi hatırlıyorum. Buydu." ve işte o an beni şok eden ve hala aklımı başımdan alan şu cevabı verdi:
-"Bu çocuk benim oğlumdu. Fakat onu 15 sene önce Kore harbinde şehit verdik..." "

Kanuni Sultan Süleyman'dan:

Süleymaniye Camiinin inşaası sırasında bir ermeni usta, yanlış duvar yapması sonucu, Kanuni tarafından cezalandırılır. Ermeni usta, sultandan şikayetçi olur. Kadı, ikisini de huzuruna çağırır. Kanuni ve usta, kadının karşısında ayakta beklemektedirler. Karar açıklanır: "Kısas!" yani Kanuni de aynı şekilde cezalandırılacaktır. Ermeni usta, adalete hayret eder ve:
-"Madem dininiz bu kadar adil, hem davamdan vazgeçiyorum hem de müslüman oluyorum"
Davadan sonra Kanuni, kadıya:
-"Eğer ben padişahım diye benim lehimde bir karar verseydin, seni bu kılıcımla öldürürdüm"
Kadı, oturduğu minderin altından bir hançer çıkarır ve :
-"Sultanım siz de eğer 'ben padişahım' diye kararıma itiraz etseydiniz ben de bu hançeri sizin kalbinize saplardım..."

Bir Derviş:

Garip dervişin biri büyük bir köşkün önünden geçerken evin 'av meraklısı ve zalim' olan beyi, yardımcıları ile ava gitmek için evden çıkıyorlardır. Dervişle selamlaşırlar. Aksilik bu ya o gün hiç birşey vuramadan dönerler. Bey çok sinirlidir:
-"Sabah ava giderken karşılaştığımız o dervişi bulun çabuk! Onun yüzünden işlerim ters gitti. Uğursuzu getirin bana!"
Yardımcıları hemen dervişi bulup beyin huzuruna çıkarırlar. Bey kükrer:
-"Bre uğursuz adam! Senin yüzünden elimiz boş geldik! Hiçbir şey vuramadık! Tiz vurun kellesini!"
Derviş, beye şöyle der:
-"Beyim sabah selamlaştık. Siz hiçbir şey vuramadınız. Ben ise kellemi kaybediyorum. Siz söyleyin, hangimiz daha uğursuzuz?"

Kanuni Sultan Süleyman'dan:

Kanuni, şehzadelerini muhteşem bir törenle sünnet ettirir. Kısa bir süre sonra da veziri İbrahim Paşa'nın oğlu sünnet olur. Törene Kanuni de davetlidir. Birara Kanuni, vezirine der ki:
-"Söyle bakalım İbrahim Paşa. Senin tören mi daha muhteşem, benimki mi?"
-"Elbette benimki sultanım"
Kanuni şaşırır. Sebebini sorar. Vezir:
-"Benim oğlanın düğününe koskoca cihan padişahı davetliydi ve geldi. Sizinkinde böyle bir davetli var mıydı?" der.
--------------------------------------------------------------------------------
FiZiK PARADOKSLARI

Olbers Paradoksu
Bu paradoks, biraz da asrtronomi ile ilgili.
Olbers, arastirmalari neticesinde, su fikirlere vardi:
a) Kâinatin (uzayin), baslangici ve sonu yoktur.
b) Kâinatin bir siniri yoktur.
c) Kâinattaki yildizlar, düzenli bir sekilde dagilmistir.
d) Kâinatin büyüklügü sabittir.
e) Diger yildizlardan gelen isigi engelleyici bir faktör yoktur.
Bütün bunlara dayanarak, Olbers'e göre gece gökyüzünün çok parlak olmasi gerekir. Çünkü sonsuz adet isik kaynagi yani yildiz mevcuttur. Gece, karanlik olduguna göre yanlis olan birseyler var. Yapilan arastirmalar, kâinatin bir baslangici oldugunu ispatlamistir. Kâinatin saniyede 60 bin km. hizla genisledigi de ilmî bir gerçektir. Yildizlardan gelen isigi engelleyen bir faktör mevcut olsa idi, bu faktörün isinmasi ve daha sonra da isik kaynagina dönüsmesi gerekirdi. O halde gökyüzü gece parlak degilse bunun birkaç sebebi vardir:
a) Kâinatin mutlaka bir baslangici vardir.
b) Kâinatin büyüklügü sabit degildir. Yani genisliyor.
c) Yildiz sayisi sinirlidir.
d) Yildizlar kâinatta düzenli olarak dagilmamistir.

Aristodan:
Kabul edelim ki esit agirlikta ve özellikte iki cismi belli bir yükseklikten attigimizda ikisi de ayni zamanda yere düser. Simdi bu iki cismi birbirine baglayip tekrar atalim. Aristo'ya göre bu cisimler daha hizli düsmelidir. Çünkü artik agirliklarin iki kati olan tek bir nesne olmuslardir. Ya da olayi bir de söyle düsünelim:
Agirliklari A ve a olan iki cisim düsünelim. Aristo'ya göre daha agir olan A, daha hizli düser. Hizlarina da B ve b diyelim. Bu iki cismi birbirine bagladigimizda, A, a'yi kendine yani asagi dogru çekecek; a da A'yi yukari dogru çekecektir. Bu cisimler, yere B ve b arasinda bir hizla yere düsmelidir. Ama Aristo der ki:
-" Cisimleri birbirine bagladigimizda agir olandan daha agir bir cisim elde etmis oluruz. O halde A'dan daha hizli düsmeliler."

Amperler:
Üç fazli dagitimda, 2 amper ile 2 amper, dört amper etmez. Yani üçgen baglama motorda:
2 amp + 2 amp = 3.4641 amp olur.

Ikizler:
Fizikte en önemli paradokslardan biride ikizler paradoksudur.
Buna göre ikiz olan kardeslerden biri isik hizi ile uzaya firlatilsa ve 50 sene sonra dünyaya tekrar gelse dünyada kalan ikizin yasi "x+50", uzaydan gelenin yasi ise "x+50>gelen" olacaktir. Yani biri yasli biri genç ama bir çok bilim çevresi zamanda böyle bir yolculugun isik hizina dahi çikilsa mümkün olmayacagini iddia eder. Çünkü eger böyle olsa idi isik sürekli geçmise yol alir. Evrende sürekli yer degistirmeyen isik bütün evreni aydinlatirdi.Fakat atmosferimize çarpan mezonlarin 1sn lik ani, 10 dk gibi geçirdikleri ispatlanmistir"

Akan Su
Bir muslugu biraz açip gözleyelim. Seri halde akan su, asagi dogru indikçe inceliyor. Neden?
Ipucu: Yerçekimi ve hiz

Yagmur
Çok siddetli bir yagmur yagiyor. Gidecegimiz yere islanmadan ulasmak için kosmak iyi bir fikir mi, Yoksa yürümeli miyiz? Süre ve mesafe, islanmayi nasil etkiler?
Ipucu: Meselâ 10 metrelik bir mesafeyi ve 10 dakikalik süreyi ayri ayri düsünün.
--------------------------------------------------------------------------------
MATEMATiK PARADOKSLARI

Dogru Parçasi Paradoksu:
Önce dogru parçasinin tarifini yapalim:
Dogru Parçasi: Baslangici ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan olusan dogru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kagida biraktigi en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanin boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks basliyor:
Noktanin boyutu olmadigina göre iki noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiginde herhangi bir sekil olusturmaz.( Çünkü sekil olusturmasi için gerekli olan boyut özelligini saglamiyor) Bu suna benzer ki; sifir ile sifirin toplami yine sifirdir. Milyarlarca sifiri toplasak 'yarim' dahi etmez. O halde dogrunun taniminda bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez! Noktanin çok çok az da olsa boyutu oldugunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanin tarifi hatali olur.
Noktayi boyutlu kabul edelim. Karsimiza bir paradoks daha çikar; dogru parçasinda sonsuz adet nokta olduguna göre dogru parçasinin da uzunlugu sonsuz olmalidir. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir seyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

2+2=5 ?
X = Y ................................................ol sun
X² = X.Y............................................esi tligin her iki tarafini 'X' ile çarptik.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çikardik.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafi çarpanlara ayirdik, sag tarafi 'Y' parantezine aldik.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadelesti.
X + X = X..........................................X = Y oldugundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladik.
2 = 1 ................................................'X ' ler sadelesti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4................................................. .buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' seklinde yazdik. HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:
George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayisi, asil kümeden daha fazladir. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?
"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanidir. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:
2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:
card(2ª) card(a)................1
Çünkü alt kümelerin kardinali asil kümelerden küçüktür veya esittir. Ancak Cantor Teoremine göre:
card(2ª) > card(a)...................2
olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.

Karisim Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kasik sütten aliyoruz ve kahve fincanina döküyoruz. iyice karistirip oradan da bir kasik aliyoruz ve süte döküyoruz. simdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladir?
Cevap sasirtici gelebilir ama karisim oranlari esittir. iste ispati:
Kabul edelim ki karisimimiz homojen olmasin. Meselâ kahveye kattigimiz süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldigimiz miktar tabi ki sütten aldigimiza esit olacaktir. Veya:
ilk karisimdan sonra kasigimizin yarisi süt, yarisi da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarim kasik kahve, kahvede yarim kasik süt bulunacaktir. Veya:
ilk karisim homojen olsun. Aldigimiz bir kasik karisimin % 90 ini kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmistir. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracagindan karisim oranlari esit olur.

Bütün Sayilar Esittir Paradoksu:
a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:
a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtik.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.
a=b............................................... .....(a-b-c) ler sadelesti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

Karisik Bir Hesap:
iki çocuk ayri ayri kalem satmaktadirlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardir. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; digeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. ilki 30 kalemden 100 TL, digeri de 150 TL kazanir. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çikarlar. Yolda karsilastiklarinda biri digerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalim. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalim. Kazandigimiz parayi da paylasiriz. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanirlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayri ayri satis yaptiklarinda toplam 250 TL kazaniyorlardi. Beraber sattiklarinda neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpilirsa:
2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayisi ile,
1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:
Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtir!"
Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayida kuzgun görüp, hepsinin de siyah oldugunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan seylerin, ayni zamanda kuzgun da olmadigini görerek.
Bilinen su ki çok sayida siyah kuzgun ve yine çok sayida siyah olmayan, ayni zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayiz. Kirmizi cisimler için bu uygulama yapilmamissa "bazi kuzgunlar kirmizi " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarim" in itibarini sarsmistir.

Arnauld Paradoksu:
Herkes bilir ki;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) ¹ (Küçük Sayi / Büyük Sayi) dir.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayilar bu kurali bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)
Ayrica;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayilar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1
Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantiksiz geldigi için negatif sayilarin olmadigina hükmetti.

Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulundugu köydeki erkeklerden, yalnizca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?
Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildigi için tanima ters düsecek. Baskasi tras etse; o kisi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:
1970 yilinda 98 yasinda ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varim. Odada kaç kisiyiz?" Cevap:
"Bir kisiyiz. Çünkü ben, ayni zamanda papayim"
Russel'in "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çesit küme var:
a) Kendisinin elemani olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemani olmayan kümeler.
simdi, "Kendisinin elemani olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemani midir?